программы по математике, планы по математике

Ск%дкаМосква


Школа №89 г. Казани
 
Разработки уроков Разработка урока по математике «Комплексные числа и действия над ними» - Открытый урок на семинаре

Разработка урока по математике «Комплексные числа и действия над ними» - Открытый урок на семинаре

Цель урока:

  1. Вспомнить изученные в школьном курсе множества чисел;
  2. Углубить теорию построения натуральных чисел по аксиоматике Пеано;
  3. Расширить множество чисел введением комплексных чисел;
  4. Ознакомить с арифметическими действиями над комплексными числами;
  5. Связать множества чисел с помощью кругов Эйлера.

Использованный материал и средства:

Презентация по математике «Знаешь ли ты числа?», интерактивная доска, раздаточный материал.

Ход урока.

1. Актуализация знаний (проводится в форме беседы: вопрос – ответ). (Открывается 2 слайд).

Ещё первобытный человек не мог обойтись без счёта. Счёт в разное время вёлся по-разному : камешками, узлами, значками на камнях, папирусе и т.д. (Открывается 3 слайд)

Изучение математики начиналось с натуральных чисел, недаром они и назывались натуральными, т.е. «природными», естественными, обыкновенными. Это числа 1, 2, 3, 4, … Они понадобились человеку прежде всего для счёта предметов. Назначение натуральных чисел – отвечать на вопросы «сколько?», «который?». В математике используется термин множество натуральных чисел и обозначается это множество буквой N. Что мы знаем о множестве натуральных чисел?

1. Это множество упорядочено. Эта фраза означает, что о любых двух натуральных неравных числах всегда можно сказать, что одно из них меньше другого.

2. Это множество ограничено снизу. Это значит, что в нём существует число, меньше которого уже нет. Это число 1.

3. Это множество неплотно. Между двумя натуральными числами далеко не всегда удаётся вставить третье так, чтобы оно было больше одного, но меньше другого.

4. Это множество не ограничено сверху.

(Открывается 4 слайд)

Мысль о таком построении теории натуральных чисел давно привлекала учёных, попыток было сделано немало, но наиболее удачной оказалась система аксиом, сформулированных итальянским учёным Джузеппе Пеано (1858-1932). Оказалось, что для дедуктивного построения арифметики натуральных чисел достаточно всего четырёх аксиом.

Аксиома 1. Существует натуральное число единица, не следующее ни за каким числом.

Аксиома 2. За любым натуральным числом следует одно и только одно число.

Аксиома 3. Всякое натуральное число, кроме единицы, следует за одним и только одним числом.

Аксиома 4. Если какая-либо теорема о свойствах натуральных чисел доказана для единицы и если из допущения, что она верна для нату- рального числа n , следует, что она верна и для числа, непосредствен- но следующего за n , то она верна для всех натуральных чисел.

(Открывается 5 слайд)

Достаточно ли для человека множества натуральных чисел? Конечно, нет. Вы уже знакомы с отрицательными числами …-3, -2, -1 и др., каждое из которых противоположно какому-нибудь натураль-ному. Границей между натуральными числами и целыми отрицатель- ными числами служит число 0, а все они вместе составляют множес- тво целых чисел и обозначается буквой Z.

(Открывается 6 слайд)

Как только людям понадобилось что-либо делить на части и что-то измерять, так оказалось, что натуральных чисел не хватает. Пона- добились новые числа – дробные. Множество дробных чисел вместе с целыми называется множеством рациональных чисел и обозначается буквой Q (от первой буквы французского слова quotient–отношение).

Вычисления на множестве дробных чисел значительно сложнее. Кроме алгоритмов, таблиц сложения и умножения надо помнить нес- колько специальных правил, иметь немало терпения и быть предель- но внимательным. Попробуйте выполнить упражнение:

(((17/24 + 9/40) – (11/48 + 31/80)): 34/5) ∙ 15/7

(Открывается 7 слайд)

На уроке алгебры мы с вами рассматривали квадрат со стороной равной единице и пытались найти длину его диагонали. Стали нужны новые числа. Их мы назвали иррациональными. Очень долго люди считали, что существуют только натуральные числа и числа, пред- ставляющие собой их отношение (лат.Ratio – отношение), т.е обыкно- венные дроби. Иррациональные числа – значит не выражающиеся в виде такого отношения, не рациональные. Сам факт существования таких чисел долго не укладывался в сознании учёных древности, убеждённых в том, что все в природе, все её явления и законы описываются законами, представляющими различные отношения целых чисел. А тут оказалось, что длина диагонали квадрата таким отношением не описывается. Существует легенда, будто этот факт настолько потряс Пифагора и его учеников, что они решили скрыть это от всех. Но, как это часто бывает со всякого рода тайнами, нашёлся некто Гиппас, который всё же не удержался и разгласил запретную информацию. Легенда утверждает, что боги наказали его - он утонул во время кораблекрушения. Теорию вычисления с иррациональностями и геометрическую интерпритацию этого создал немецкий математик Рихард Дедекинд(1831-1916).

(Открывается 8 слайд)

Иррациональные числа вместе с рациональными составляют множество действительных чисел и обозначается буквой R.

Покажем связь между множествами чисел.

Иррациональные числа, диаграмма

(Открывается 9 слайд)

Учащиеся проверяют себя, выбирая из ряда чисел натуральные, целые, рациональные, иррациональные.

По 10-13 слайдам учащиеся вспоминают некоторые замечательные числа.

2. Усвоение новых знаний.

Однако множество чисел оказывается ещё шире. Существует число, квадрат которого равен -1. Это число обозначили через i. Выполняется равенство i 2 = -1. С помощью этого числа можно показать все другие числа, квадраты которых равны отрицательному числу. Это комплексные числа и обозначаются буквой С.

Комплексные числа задаются в виде а + вi, где а – вещественная часть, в – мнимая часть. Например:

С = 2 + 3i

В = 3 – 7i

Покажем связь между множествами чисел с помощью кругов Эйлера.

круг Эйлера

3.Закрепление знаний.

Верны ли утверждения:

  • любое рациональное число является комплексным;
  • любое комплексное число является рациональным;
  • любое целое число является комплексным;
  • любое комплексное число является целым.

Научимся выполнять арифметические действия над комплексными числами.

i2 = -1

Рассмотрим действия над такими числами.

(2 + 3i) + (-1 + 5i) = 2 + 3i - 1 + 5i = (2 – 1) + (3i + 5i) = 1 + 8i

Примеры на сложение:

(6 – 3i)+ (2 + 4i)

(1,2 + 0,5i) + (2i – 3,8)

(1 + i) + (1 – i)

Вычитание комплексных чисел выполняется также как и сложение

(2 + 3i) - (-1 + 5i) = 2 + 3i + 1 - 5i = (2 + 1) + (3i - 5i) = 3 – 2i

Выполните вычитания комплексных чисел

(6 – 3i)- (2 + 4i)

(1,2 + 0,5i) - (2i – 3,8)

(1 + i) - (1 – i)

При умножении комплексных чисел необходимо применить правило умножения многочлена на многочлен, имея в виду, что квадрат числа i равен – 1.

(2 + 3i) ∙ (-1 + 5i) = -2 + 10i – 3i + 15i2 = -2 +7i -15 = -17 + 7i

По показанному примеру выполните действия умножения:

Для выполнения действия деления необходимо действие записать в виде дроби и умножить дробь на сопряжённое знаменателя

6 – 3i = (6 – 3i)•(2 + 4i) = 12 – 24i – 6i -12i2 = 24 – 30i =

2 – 4i (2 – 4i)•(2 + 4i) 22 – 16i2 20

= 1,2 – 1,5i

3. Домашнее задание:

Выполните действия над комплексными числами

(6 – 3i)∙ (2 + 4i)

(1,2 + 0,5i) ∙ (2i – 3,8)

(1 + i) ∙ (1 – i)

(6 – 3i): (2 + 4i)

(1,2 + 0,5i) : (2i – 3,8)

(1 + i) : (1 – i)